리만 가설이 어려운 이유

리만 가설은 소수의 분포에 관한 추측입니다. 1859년 독일 수학자 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)이 "주어진 크기보다 작은 소수의 수에 관하여"라는 논문에서 처음 제안했습니다.

소수는 모든 숫자의 빌딩 블록입니다. 1과 자기 자신으로만 나눌 수 있는 수입니다. 소수의 예로는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 등이 있습니다. 정수론에서 가장 중요한 질문 중 하나는 소수가 모든 숫자에 어떻게 분포되어 있는지입니다.
리만 가설은 소수 연구에서 중심적인 역할을 하는 수학적 함수인 리만 제타 함수의 거동에 대한 추측입니다. 리만 제타 함수는 모든 양의 정수의 n제곱의 역수의 합으로 정의됩니다. 다시 말해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

ζ(s) = 1^(-s) + 2^(-s) + 3^(-s) +...

여기서 s는 실수부가 1보다 큰 복소수입니다. 이 함수는 간단한 극점이 있는 점 s = 1을 제외하고 전체 복소평면으로 확장할 수 있습니다.

리만 가설은 리만 제타 함수의 모든 중요하지 않은 0이 입력의 실수부가 1/2인 복소 평면의 선인 임계선에 있다고 말합니다. 사소한 0은 관심 대상이 아닌 음의 짝수 정수입니다. 사소하지 않은 0은 ζ(s) = 0을 만족하지만 임계선에 있지 않은 복소수입니다.

리만 가설은 처음 10조 개의 0에 대해 참인 것으로 나타났지만 모든 중요하지 않은 0에 대한 증명은 아직 파악하기 어렵습니다. 리만 가설은 2000년 Clay Mathematics Institute에서 발표한 7개의 밀레니엄상 문제 중 하나입니다. 연구소는 리만 가설을 포함하여 이러한 문제에 대한 해결책을 제공할 수 있는 사람에게 100만 달러의 상금을 제공했습니다.

리만 가설이 어려운 이유는 여러 가지가 있습니다. 한 가지 이유는 복소수를 다루기 때문입니다. 복소수는 실수부와 허수부가 모두 있는 숫자입니다. 그들은 a + bi로 표현되며, 여기서 a와 b는 실수이고 i는 -1의 제곱근으로 정의되는 허수 단위입니다. 복소수는 수학의 필수 도구이며 많은 과학 및 공학 분야에서 사용됩니다.

리만 가설은 복잡한 함수인 리만 제타 함수에 대한 연구를 포함하기 때문에 어렵습니다. 복소수 함수는 복소수를 입력과 출력으로 갖는 함수입니다. 복잡한 함수의 동작은 입력 및 출력으로 실수만 있는 실제 함수의 동작과 매우 다를 수 있습니다.

리만 제타 함수는 흥미롭고 복잡한 특성이 많은 매우 복잡한 함수입니다. 예를 들어 무한한 수의 0이 있으며 이러한 0은 소수의 분포와 관련이 있습니다. 리만 가설은 이러한 0의 위치에 대한 추측이며 소수의 분포에 대한 중요한 통찰력을 제공할 것임을 증명합니다.

리만 가설이 어려운 또 다른 이유는 그것이 소수에 대한 연구와 관련되어 있기 때문입니다. 소수는 수세기 동안 연구되어 왔지만 그 속성 중 많은 부분이 아직 완전히 이해되지 않았습니다. 예를 들어 쌍둥이 소수(2의 차이가 나는 소수 쌍)가 무한히 많은지, 무한히 존재하는지 알 수 없습니다.